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title: Formules
description: Formules mathematiques de seuil WoT, criteres Smith et TechComm, simulation et meta-gouvernance
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# Formules de seuil

libreDecision utilise un systeme de formules mathematiques pour determiner les seuils d'adoption des votes. Le mecanisme central est la **formule d'inertie WoT** qui impose une quasi-unanimite en cas de faible participation et converge vers une majorite simple a participation elevee.

## Formule principale -- Seuil WoT

$$
\text{Result} = C + B^W + \left( M + (1 - M) \cdot \left(1 - \left(\frac{T}{W}\right)^G \right) \right) \cdot \max(0,\; T - C)
$$

### Variables et plages de valeurs

| Symbole | Parametre           | Description                                      | Plage              | Defaut |
| ------- | ------------------- | ------------------------------------------------ | ------------------- | ------ |
| $C$     | `constant_base`     | Base constante additive (plancher minimum de votes favorables requis) | $[0, +\infty[$ | 0.0    |
| $B$     | `base_exponent`     | Exposant de base. $B^W$ ajoute un terme negligeable quand $W$ est grand | $]0, 1[$ | 0.1 |
| $W$     | `wot_size`          | Taille du corpus des votants eligibles (membres WoT) | $[1, +\infty[$ | --     |
| $T$     | `total_votes`       | Nombre total de votes exprimes (pour + contre)   | $[0, W]$            | --     |
| $M$     | `majority_pct / 100`| Ratio de majorite cible a pleine participation   | $]0, 1]$            | 0.50   |
| $G$     | `gradient_exponent` | Controle la vitesse de convergence de la super-majorite vers $M$ | $]0, +\infty[$ | 0.2 |

#### Detail des parametres

**$C$ -- Base constante** : Nombre minimum absolu de votes favorables requis, independamment de la participation. Avec $C = 3$, il faut au moins 3 votes favorables meme si la formule calcule un seuil inferieur. En general, $C = 0$.

**$B$ -- Exposant de base** : Genere un terme $B^W$ qui decroit exponentiellement avec la taille de la WoT. Pour $B = 0.1$ et $W = 7224$, $B^W = 0.1^{7224} \approx 0$. Ce terme n'est pertinent que pour de tres petites communautes. Plus $B$ est proche de 0, plus le terme decroit vite. Plus $B$ est proche de 1, plus il reste significatif.

**$M$ -- Ratio de majorite** : Determine la proportion de votes favorables necessaire quand toute la WoT vote. $M = 0.5$ signifie qu'a pleine participation, la majorite simple (50%+1) suffit. $M = 0.66$ impose une super-majorite des 2/3 meme a pleine participation.

**$G$ -- Gradient** : Controle la courbure de la transition entre quasi-unanimite (faible participation) et majorite $M$ (pleine participation). Plus $G$ est petit, plus la transition est rapide : l'inertie chute vite des les premieres participations. Plus $G$ est grand, plus l'exigence de quasi-unanimite persiste a des taux de participation eleves.

### Mecanisme d'inertie

Le coeur de la formule est le facteur d'inertie :

$$
\text{inertia}(T, W) = M + (1 - M) \cdot \left(1 - \left(\frac{T}{W}\right)^G \right)
$$

- Quand la **participation est faible** ($T \ll W$) : le ratio $T/W$ est petit, $(T/W)^G$ est proche de 0, donc l'inertie tend vers $M + (1-M) = 1$. Il faut quasiment l'unanimite.
- Quand la **participation est elevee** ($T \to W$) : le ratio $T/W$ tend vers 1, $(T/W)^G$ tend vers 1, donc l'inertie tend vers $M$. La majorite simple suffit.

Le facteur d'inertie represente la **proportion de votes favorables necessaire** parmi les votants effectifs. Il multiplie ensuite $(T - C)$ pour obtenir le seuil absolu.

### Table d'inertie (WoT = 7224, M = 0.50, G = 0.2)

Le tableau suivant montre comment le facteur d'inertie evolue en fonction de la participation, pour les parametres de reference `M50 G.2` avec une WoT de 7224 membres :

| Participation $T$ | Ratio $T/W$ | $(T/W)^G$ | Inertie | Seuil (votes favorables requis) | % favorables requis |
| -----------------: | ----------: | ---------: | ------: | ------------------------------: | ------------------: |
| 10                | 0.0014      | 0.2512     | 0.8744  | 9                               | 87.4%               |
| 50                | 0.0069      | 0.3548     | 0.8226  | 42                              | 82.3%               |
| 100               | 0.0138      | 0.3981     | 0.8010  | 81                              | 80.1%               |
| 120               | 0.0166      | 0.4102     | 0.7949  | 96                              | 79.5%               |
| 200               | 0.0277      | 0.4467     | 0.7766  | 156                             | 77.7%               |
| 500               | 0.0692      | 0.5129     | 0.7435  | 372                             | 74.4%               |
| 1000              | 0.1384      | 0.5754     | 0.7123  | 713                             | 71.2%               |
| 2000              | 0.2769      | 0.6452     | 0.6774  | 1355                            | 67.7%               |
| 3612              | 0.5000      | 0.7071     | 0.6464  | 2335                            | 64.6%               |
| 5000              | 0.6920      | 0.7490     | 0.6255  | 3128                            | 62.6%               |
| 7224              | 1.0000      | 1.0000     | 0.5000  | 3612                            | 50.0%               |

On constate que meme a 500 votants (6.9% de participation), il faut encore 74.4% de votes favorables. L'inertie ne descend en dessous de 66% qu'au-dela de 2000 votants (27.7% de participation).

### Decomposition pas a pas

Pour le vote de l'Engagement Forgeron v2.0.0 avec $W = 7224$, $T = 120$, $M = 0.50$, $B = 0.1$, $G = 0.2$, $C = 0$ :

$$
\begin{aligned}
B^W &= 0.1^{7224} \approx 0 \\[6pt]
\frac{T}{W} &= \frac{120}{7224} \approx 0.0166 \\[6pt]
\left(\frac{T}{W}\right)^G &= 0.0166^{0.2} \approx 0.4102 \\[6pt]
1 - \left(\frac{T}{W}\right)^G &\approx 0.5898 \\[6pt]
\text{inertia} &= 0.50 + 0.50 \times 0.5898 = 0.7949 \\[6pt]
\text{Result} &= 0 + 0 + 0.7949 \times \max(0, 120 - 0) \\[3pt]
&= 0.7949 \times 120 \approx 95.39 \\[3pt]
&\Rightarrow \text{Seuil} = 94 \quad \text{(arrondi inferieur)}
\end{aligned}
$$

Resultat : **adopte** (97 >= 94).

## Critere Smith (Forgerons)

$$
\text{SmithThreshold} = \lceil \text{SmithWotSize}^S \rceil
$$

Le critere Smith exige un nombre minimum de votes favorables de la part des membres Smith (forgerons) pour que certaines decisions soient valides.

| Symbole | Parametre        | Description                  | Plage            | Defaut             |
| ------- | ---------------- | ---------------------------- | ---------------- | ------------------ |
| $S$     | `smith_exponent` | Exposant pour le critere Smith | $]0, 1]$       | null (desactive)   |

L'exposant $S$ controle l'exigence en fonction de la taille du groupe Smith. Plus $S$ est petit, moins de forgerons doivent voter favorablement. Plus $S$ est grand (proche de 1), plus le seuil se rapproche de la taille totale du groupe.

| SmithWotSize | $S = 0.1$ | $S = 0.3$ | $S = 0.5$ | $S = 0.7$ |
| -----------: | --------: | --------: | --------: | --------: |
| 5            | 2         | 2         | 3         | 4         |
| 10           | 2         | 2         | 4         | 6         |
| 20           | 2         | 3         | 5         | 10        |
| 50           | 2         | 4         | 8         | 19        |
| 100          | 2         | 4         | 10        | 26        |

Avec un exposant de $S = 0.1$ et 20 forgerons :

$$
\lceil 20^{0.1} \rceil = \lceil 1.35 \rceil = 2
$$

Au minimum 2 votes favorables de forgerons sont requis.

## Critere TechComm (Comite Technique)

$$
\text{TechCommThreshold} = \lceil \text{CoTecSize}^{T_c} \rceil
$$

Le critere TechComm fonctionne de maniere identique au critere Smith mais pour les membres du Comite Technique.

| Symbole | Parametre           | Description                     | Plage          | Defaut             |
| ------- | ------------------- | ------------------------------- | -------------- | ------------------ |
| $T_c$   | `techcomm_exponent` | Exposant pour le critere TechComm | $]0, 1]$     | null (desactive)   |

Avec un exposant de $T_c = 0.1$ et 5 membres TechComm :

$$
\lceil 5^{0.1} \rceil = \lceil 1.17 \rceil = 2
$$

Au minimum 2 votes favorables de membres TechComm sont requis.

## Resultat final

Un vote est **adopte** si et seulement si les trois conditions sont remplies simultanement :

1. `votes_for >= seuil_WoT` (formule principale)
2. `smith_votes_for >= seuil_Smith` (si critere Smith actif)
3. `techcomm_votes_for >= seuil_TechComm` (si critere TechComm actif)

En notation formelle :

$$
\text{Adopte} = \left( V_{\text{pour}} \geq \text{Seuil}_{\text{WoT}} \right) \;\wedge\; \left( S_{\text{actif}} \Rightarrow V_{\text{smith}} \geq \lceil W_S^S \rceil \right) \;\wedge\; \left( T_{\text{actif}} \Rightarrow V_{\text{tech}} \geq \lceil W_T^{T_c} \rceil \right)
$$

## Parametres de mode (mode_params)

Les parametres de formule sont encodes dans une chaine compacte pour faciliter la lecture et le partage. Format : une lettre majuscule suivie d'une valeur numerique.

| Code | Parametre             | Type  | Plage          | Exemple      |
| ---- | --------------------- | ----- | -------------- | ------------ |
| D    | `duration_days`       | int   | $[1, 365]$    | D30 = 30 jours |
| M    | `majority_pct`        | int   | $[1, 100]$    | M50 = 50%    |
| B    | `base_exponent`       | float | $]0, 1[$      | B.1 = 0.1    |
| G    | `gradient_exponent`   | float | $]0, +\infty[$| G.2 = 0.2    |
| C    | `constant_base`       | float | $[0, +\infty[$| C0 = 0.0     |
| S    | `smith_exponent`      | float | $]0, 1]$      | S.1 = 0.1    |
| T    | `techcomm_exponent`   | float | $]0, 1]$      | T.1 = 0.1    |
| N    | `ratio_multiplier`    | float | $]0, +\infty[$| N1.5 = 1.5   |
| R    | `is_ratio_mode`       | bool  | $\{0, 1\}$   | R1 = true    |

### Exemples

- `"D30M50B.1G.2"` -- 30 jours, majorite 50%, base 0.1, gradient 0.2
- `"D30M50B.1G.2S.1T.1"` -- Idem avec critere Smith (0.1) et TechComm (0.1)
- `"D60M66B.05G.3"` -- 60 jours, majorite 66%, base 0.05, gradient 0.3

## Vote nuance

En plus du vote binaire (pour/contre), libreDecision supporte un vote nuance a 6 niveaux :

| Niveau | Label         | Valeur normalisee |
| ------ | ------------- | ----------------: |
| 0      | CONTRE        | 0.0               |
| 1      | PAS DU TOUT   | 0.2               |
| 2      | PAS D'ACCORD  | 0.4               |
| 3      | NEUTRE        | 0.6               |
| 4      | D'ACCORD      | 0.8               |
| 5      | TOUT A FAIT   | 1.0               |

### Regle d'adoption (vote nuance)

Un vote nuance est adopte si :

1. Le nombre de votes aux niveaux 3, 4 et 5 (positifs) represente au moins `threshold_pct`% du total des votes.
2. Le nombre minimum de participants (`min_participants`) est atteint.

En notation formelle :

$$
\text{Adopte}_{\text{nuance}} = \left( \frac{V_3 + V_4 + V_5}{T} \geq \frac{\text{threshold\_pct}}{100} \right) \;\wedge\; \left( T \geq \text{min\_participants} \right)
$$

Par defaut : `threshold_pct = 80%`, `min_participants = 59`.

## Simulateur de formules

L'API expose un endpoint de simulation qui permet de tester le comportement de la formule sans creer de session de vote. Cela permet aux utilisateurs d'experimenter differentes configurations avant de les proposer.

### Utilisation de l'API de simulation

**Endpoint** : `POST /api/v1/protocols/simulate`

**Exemple de requete** :

```bash
curl -X POST https://libredecision.example.org/api/v1/protocols/simulate \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{
    "wot_size": 7224,
    "total_votes": 120,
    "majority_pct": 50,
    "base_exponent": 0.1,
    "gradient_exponent": 0.2,
    "constant_base": 0.0,
    "votes_for": 97
  }'
```

**Exemple de reponse** :

```json
{
  "threshold": 94,
  "inertia_factor": 0.7949,
  "participation_ratio": 0.0166,
  "base_term": 0.0,
  "smith_threshold": null,
  "techcomm_threshold": null,
  "adopted": true,
  "details": {
    "wot_threshold_met": true,
    "smith_met": null,
    "techcomm_met": null
  }
}
```

### Cas d'usage du simulateur

1. **Calibration** : Tester differentes valeurs de $M$ et $G$ pour trouver un equilibre entre exigence et praticabilite.
2. **Comparaison** : Comparer les seuils entre deux configurations sur les memes donnees de participation.
3. **Prediction** : Estimer le seuil pour un vote a venir en fonction de la participation attendue.
4. **Pedagogie** : Comprendre visuellement l'impact de chaque parametre sur le seuil.

## Meta-gouvernance

La meta-gouvernance est le mecanisme par lequel les **regles du vote elles-memes** sont soumises au vote. Concretement, modifier un protocole de vote ou une formule de seuil active est un acte de gouvernance qui necessite une validation collective.

### Principe

Quand un utilisateur propose une modification d'un protocole ou d'une formule en cours d'utilisation (lies a au moins une session ouverte), le systeme :

1. **Bloque la modification directe** (reponse HTTP 409).
2. **Cree automatiquement une session de vote** portant sur la modification proposee.
3. **Applique le protocole de vote en vigueur** pour valider ou rejeter la modification.
4. Si le vote est **adopte**, la modification est appliquee aux futures sessions de vote. Les sessions en cours ne sont pas affectees.
5. Si le vote est **rejete**, la modification est archivee et le protocole reste inchange.

### Quels objets sont proteges ?

| Objet             | Endpoint de modification   | Meta-gouvernance |
| ----------------- | -------------------------- | ---------------- |
| Protocole actif   | `PUT /api/v1/protocols/{id}` | Oui            |
| Formule active    | `PUT /api/v1/protocols/formulas/{id}` | Oui    |
| Protocole inactif | `PUT /api/v1/protocols/{id}` | Non (modification directe) |
| Formule inactive  | `PUT /api/v1/protocols/formulas/{id}` | Non (modification directe) |

Un protocole ou une formule est considere **actif** s'il est lie a au moins une session de vote au statut `open`.

### Cas d'usage

- **Changer la duree de vote** : Un membre propose de passer de 30 a 60 jours. La proposition est soumise au vote avec les regles actuelles. Si adoptee, les prochains votes dureront 60 jours.
- **Modifier le gradient** : Un membre estime que le gradient $G = 0.2$ est trop permissif et propose $G = 0.4$. Le vote decide.
- **Ajouter un critere Smith** : Un membre propose d'activer le critere Smith avec $S = 0.1$ pour impliquer les forgerons. Le vote decide.

La meta-gouvernance garantit qu'aucun parametre fondamental du systeme de decision ne peut etre modifie unilateralement.
